.RU

4 Асноўныя тэарэтычныя звесткі

ТЭМА 4. ДАСТАСАВАННІ ВЫЗНАЧАНАГА ІНТЭГРАЛА ДА ВЫЛІЧЭННЯ ПЛОШЧЫ ПЛОСКАЙ ФІГУРЫ


4.1. Асноўныя тэарэтычныя звесткі


П.1. Паняцце граніцы мноства і плоскай фігуры



Разгледзім мноства ўсіх пунктаў плоскасці.

Азначэнне 4.1.

ε-наваколле пункта А называецца

мноствам пунктаў плоскасці {М}

, якія размешшчаны ўнутры круга радыюса ε з цэнтрам у пункце А.

Азначэнне 4.2.

Пункт Мє{М}называецца

ўнутраным пунктам

гэтага мноства, калі знойдзецца ε >0 такі, што ε-наваколле пункта М таксама належыць гэтаму мноству {М}

.



Азначэнне 4.3

.

Пункт М, які не належыць мноству {М}, пазываецца

вонкавым пунктам

гэтага мноства {М}, калі знойдзецца ε >0 такі, што ε-наваколле гэтага пункта таксама не належыць мноству {М}.

Азначэнне 4.4

.

Пункт М называецца гранічным пунктам мноства {М}, калі ён не з’яўляецца унутраным і не з’яўляецца вонкавым пунктам мноства {М}.

Тэарэма 4.1.

Пункт М з’яўляецца гранічным пунктам тады і толькі тады, калі любое ε-наваколле пункта М змяшчае пункты, якія належаць мноству {М} і не належаць мноству {М}.

Азначэнне 4.5

.

Сукупнасць усіх гранічных пунктаў мноства {М} называецца

граніцай мноства

{М}.

Азначэнне 4.6

.

Мноства {М} пунктаў плоскасці называецца

абмежаваным

, калі існуе круг, які змяшчае ўсе пункты гэтага мноства.

Азначэнне 4.7

.

Адвольнае абмежаванае мноства {М} пунктаў плоскасці называецца

плоскай фігурай

. Граніца гэтага мноства абазначаецца ∂F.

Азначэнне 4.8

.

Многавугольнай фігурай на плоскасці

называецца мноства, складзенае з канечнага лікуабмежаваных многавугольнікаў, якія належаць гэтай плоскасці.

Няхай μ(Р) — плошча многавугольнай фігуры. Гэта неадмоўны лік, які валодае наступнымі ўласцівасцямі:

  1. Адытыўнасць.

    Калі Р1 і Р2 дзве многавугольныя фігуры, у якіх няма агульных ўнутраных пунктаў, а Р1U Р2, тады μ(Р1U Р2)= μ(Р1)+ μ(Р2).

  2. Інварыянтнасць.

    Калі Р1 і Р2 роўныя паміж сабой, тады μ(Р1)= μ(Р2).

  3. Манатоннасць.

    Калі Р1 змяшчаецца ў Р2, тады μ(Р1)≤ μ(Р2).

Заўвага 4.1

. Плошчу многавугольнай фігуры натуральна лічыць роўнай аднаму і таму ж ліку незалежна ад таго з граніцай або без граніцы разглядаецца гэта многавугольная фігура.

П.2. Азначэнне плошчы адвольнай плоскай фігуры Р



Разгледзім адвольную фігуру F на плоскасці, якая ўяўляе сабой абмежаваную замкнёную вобласць. Яе граніцай або контурам з’яўляецца замкнёная крывая(або некалькі крывых). І разгледзем усякія многавугольныя фігуры, якія цалкам змяшчаюцца ў ∂F і абазначым іх праз Р, а таксама многавугольныя фігуры, якія цалкам змяшчаюць у сябе F і абазначым іх праз Q(гл. мал. 1).
Фігуры Р называюцца

умежанымі фігурамі

, а Q —

апісанымі

або

акрэсленымі

.

Няхай μ(Р) і μ(Q) адпаведна плошчы гэтых многавугольнікаў. Лікавае мноства {μ(Р)} плошчаў усіх умежаных многавугольных фігур Р абмежавана зверху, напрыклад, плошчай любой апісанай многавугольнай фігуры Q, таму мае дакладную верхнюю мяжу μ*= μ*(F)=

(1)



Аналагічна, лікавае мноства плошчаў μ(Q) усіх апісаных многавугольных фігур Q мае дакладную ніжнюю мяжу μ*=μ*(F)=

(2)



  1. ніжняя плошча фігуры

    F

    ,

    а (2)

    – верхняя плошча фігуры

    F.

З таго, што плошча любой умежанай фігуры не больш чым плошча акрэсленай фігуры, то вынікае, што μ*(F) ≤μ*(F).

Азначэнне 4.9

.

Плоская фігура F называецца

квадравальнай

(або фігурай, якая мае плошчу), калі верхняя плошча фігуры супадае з ніжняй, пры гэтым лік μ= μ*(F)= μ*(F) называецца

плошчай фшгуры

F.

П.3. Крытэрый квадравальнасці плоскай фігуры



Тэарэма 4.2.

Для квадравальнасці плоскай фігуры F неабходна і дастаткова, каб для кожнага ε >0 існавалі такіх два многавугольніка: Р – умежаны ў F і Q – апісаны вакол F для якіх μ(Q)- μ(Р)< ε.

Гэта тэарэма дапускае простае,але важнае абагульненне.

Тэарэма 4.2

'

.

Для квадравальнасці плоскай фігуры F неабходна і дастаткова каб для кожнага ε >0 знайшліся квадравальная плоская фігура Q, якая змяшчае F і квадравальная плоская фігура Р, якая змяшчаецца ў F, для якіх выконваецца няроўнасць μ(Q)- μ(Р) <ε .

Тэарэма 4.2

''

.

Няхай F адвольная плоская фігура, Q – многавугольная фігура, якая ўзята сумесна з граніцай і якая змяшчае F, Р – многавугольная фігура, якая змяшчае F (узята без граніц). Тады рознасць Q-Р – многавугольная фігура, якая узята з граніцамі і якая змяшчае ўсе пункты граніцы фігуры F.

Адпаведна адытыўнасці плошчы многавугольнай фігуры маем μ(Q=Р)= μ(Q)- μ(Р) і таму μ(Q-Р) <ε.

Азначэнне 4.10

.

Мноства пунктаў плоскасці называецца

мноствам плошчы нуль

, калі яго змяшчае многавугольная фігура самай малой плошчы.

Таму тэарэма 3.1. можа мець наступную фармуліроўку.

Тэарэма 4.3

Плоская фігура F квадравальная тады і толькі тады, калі яе граніца ∂F мае плошчу нуль.

П.4.4. Уласцівасці квадравальнай фігуры



Тэарэма 4.4.

(аб адытыўнасці плошчы).

Няхай фігура F раскладзена на дзве фігуры F1 і F2, якія не маюць агульных унутраных пунктаў, тады квадравальнасць дзвюх з трох фігур F, F1 і F2 влечёт за собой квадравальнасць трэццяй, прычым заўсёды мае месца роўнасць μ(F)= μ(F1)+ μ(F2).

(3)



Уласцівасці манатоннасці і інварыянтнасці квадравальнай фігуры вынікаюць з адпаведных уласцівасцей і азначэння плошчы квадравальнай фігуры.

Заўвага 4.2

. Перасячэнне дзвюх квадравальных фігур ёсць фігура квадравальная.

П.5. Класы квадравальных фігур



Лема 4.1.

Непарыўная крывая, якая вызначана раўнаннем у=f(x), дзе хє[a,b] або х=g(y). Дзе ує[c,d] прычым f(x) і g(y) непарыўныя функцыі, маюць плошчу нуль.

Тэарэма 4.5.

Калі фігура абмежавана некалькімі непарыўнымі крывымі, кожная з якіх выражана раўнаннем у= f(x), дзе х є [a,b] або х= g(y), дзе ує[c,d], тады гэта фігура квадравальная.

Тэарэма 4.6.

Калі фігура абмежаваная некалькімі гладкімі крывымі, тады яна квадравальная.

П.6. Плошча крывалінейнай трапецыі



Азначэнне 4.11

.

Крывалінейнай трапецыяй называецца фігура, якая абмежаваная графікам непарыўнай і неадмоўнай функцыі f(x), якая азначаная на адрэзку [a,b], а таксама перпендыкулярнымі да восі Ох прамымі х=а і х=в, а таксама адрэзкам восі Ох паміж пунктамі а і в (гл.мал. 2).

Тэарэма 4.7.

Крывалінейная трапецыя з’яўляецца квадравальнай фігурай, плошча якой вылічваецца па формуле

(4)



Разгледзім некаторыя частковыя выпадкі знаходжання плошчаў.

  1. Функцыя f(x) непарыўная, але f(x) ≤0 на адрэзку [a,b] (гл. мал. З.), то

    (5)


    або

    (5

    '

    )




  2. Функцыя f(x) на адрэзку [a,b] непарыўная, але змяняе знак у некаторых пунктах адрэзка [a,b] (канечны лік пунктаў). Тады трэба разбіць адрэзак [a,b] на такія часткі, каб функцыя на кожнай з іх мела пзначаны знак (гл.мал.4).


. (6)



  1. Фігура не з’яўляецца крывалінейнай трапецыяй, але плошчу яе магчыма выразіць праз алгебраічную суму плошчаў крывалінейных трапецый. Так, калі фігура абмежаваная лініямі у=f1(x), у=f2(x), х=а, х=в (гл.мал.5), то .

    (7)




4) Плоская фігура абмежаваная графікам функцыі, якая зададзена параметрычна х=х(t), у=у(t), дзе t1 ≤ t ≤ t2, тады яе плошчу можна знайсці па формуле
,

(8)


дзе t1 і t2 значэнні параметра t, якія адпавядаюць пачатку і канцу абхода граніцы фігуры. Формула (8) атрымана з формулы (4) заменай зменных, пры гэтым у(t)≥0 t є [t1, t2]. Ліміты інтэгравання t1 і t2 азначаюцца з раўнанняў а=х(t1), в=х(t2).

Формулу (8) можна выкарыстоўваць і для вылічэння плошчы фігуры, якая абмежаваная замкнёнай крывой, пры ўмове, што ўся крывая абходзіцца адзін раз у азначаным напрамку пры змяненні параметра ад t1 да t2.

П.7. Плошча крывалінейнага сектара



Няхай некаторая крывая L зададзена ў палярнай сістэме каардынат раўнаннем ρ=ρ(φ), дзе ρ(φ) – дадатная і непарыўная функцыя на адрэзку [α,β] (гл.мал.6).

Азначэнне 4.12

.

Крывалінейным сектарам называецца плоская фігура, якая абмежаваная крывой L і дзвюмя промнямі, якія складаюць з палярнай воссю вуглы α, і β (гл.мал.6).



Тэарэма 4.8.

Крывалінейны сектар з’яўляецца квадравальнай фігурай F, плошчу якой можна вылічыць па формуле

.

(9)



Пытанні для самакантролю.



  1. Даць азначэнне ўмежаванага (акрэсленага) многавугольніка ў плоскую фігуру.

  2. Даць азначэнне квадральнай плоскай фігуры.

  3. Сфармуляваць неабходную і дастатковую ўмовы квадральнасці плоскай фігуры.

  4. Даць азначэнне крывалінейнай трапецыі (у дачыненні да восі Ох і восі Оу).

  5. Сфармуляваць тэарэму адытыўнай плошчы.

  6. Ці з’яўляецца квадравальнай крывалінейная трапецыя?

  7. Геаметрычны сэнс вызначанага інтэграла.

  8. Напісаць формулу для вылічэння плошчы фігуры, што задавальняе ўмовамі: f(x)≤0, a≤x≤b, y≤0ю

  9. Як знайсці плошчу фігуры, абмежаванай лініямі: х=а, х=b , у= f(x), калі f(x) ёсць непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя, але яна змяняе знак у некаторым пункце гэтага адрэзку.

  10. Як знайсці плошчу фігуры, абмежаванай лініямі: х=а, х= b, у=f1(x), у= f2(x), (f2(x)≥ f1(x))?

  11. Напісаць формулу для вылічэння плошчы фігуры, якая абмежаваная графікам крывой, якая зададзена параметрычна. Як знайсці ліміты інтэгравання?

  12. Даць азначэнне крывалінейнага сектара.

  13. Назваць формулу для вылічэння плошчы крывалінейнага сектара.

  14. Ці можна назваць крывалінейнай трапецыяй фігуру, абмежаванай лініямі: х=а, х=в, у=f1(x), f1(x)≥с, у=с, с>0?

  15. Назваць формулы для вылічэння плошчы фігуры: а) у дэкартавых каардынатах; б) у выпадку параметрычнага задання граніцы;, в) у палярных каардынатах.




Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт 2010-07-19 18:44 Читать похожую статью
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © Помощь студентам
    Образовательные документы для студентов.